그래프(Graph)

0. 요약

0-1. 인접 리스트로 무방향 그래프 구현하기

class Graph {
  constructor() {
    this.vertices = new Map();
  }

  // 정점 추가하기
  add(vertex) {
    if (!this.vertices.get(vertex)) {
      this.vertices.set(vertex, []);
    }
  }

  // 정점 삭제하기
  remove(vertex) {
    if (this.vertices.get(vertex)) {
      const v = this.vertices.get(vertex);
      v.forEach((item) => {
        this.vertices.set(
          item,
          this.vertices.get(item).filter((item) => item !== vertex)
        );
      });
      this.vertices.delete(vertex);
      return v;
    }
  }

  // 정점의 존재여부 확인하기
  contains(vertex) {
    return this.vertices.has(vertex);
  }

  // 간선 연결하기
  connect(from, to) {
    if (this.contains(from) && this.contains(to)) {
      if (this.vertices.get(from).includes(to)) return;
      this.vertices.set(from, [...this.vertices.get(from), to]);
      this.vertices.set(to, [...this.vertices.get(to), from]);
    }
  }

  // 간선 삭제하기
  disconnect(from, to) {
    if (this.contains(from) && this.contains(to)) {
      this.vertices.set(
        from,
        this.vertices.get(from).filter((item) => item !== to)
      );
      this.vertices.set(
        to,
        this.vertices.get(to).filter((item) => item !== from)
      );
    }
  }

  // 간선 존재여부 확인하기
  hasEdge(from, to) {
    if (this.contains(from) && this.contains(to)) {
      const edges = this.vertices.get(from);
      return edges.includes(to);
    }
    return false;
  }
}

0-2. 인접 행렬로 방향 그래프 구현하기

class Graph {
  constructor(size) {
    this.matrix = [];
    for (let i = 0; i < size; i++) {
      this.matrix.push(new Array(size).fill(0));
    }
    this.length = this.matrix.length;
    this.last_vertex = this.matrix.length - 1;
  }

  //정점의 존재여부 확인하기
  contains(vertex) {
    return vertex < this.length && vertex >= 0;
  }

  // 간선 연결하기
  connect(from, to) {
    if (
      !from === 0
        ? false
        : !from || to === 0
        ? false
        : !to || !this.contains(from) || !this.contains(to) || from === to
    )
      return;
    this.matrix[from][to] = 1;
  }

  // 간선 삭제하기
  disconnect(from, to) {
    if (
      !from === 0
        ? false
        : !from || to === 0
        ? false
        : !to || !this.contains(from) || !this.contains(to) || from === to
    )
      return;
    this.matrix[from][to] = 0;
  }

  // 간선 존재여부 확인하기
  hasEdge(from, to) {
    return this.matrix[from][to] === 1;
  }

  // 진입 차수 구하기
  in_degree_num(vertex) {
    let count = 0;
    this.matrix.forEach((item) => {
      if (item[vertex] === 1) count++;
    });
    return count;
  }

  // 진출 차수 구하기
  out_degree_num(vertex) {
    return this.matrix[vertex].filter((item) => item === 1).length;
  }

  // 전체 차수 구하기
  degree_num(vertex) {
    return this.in_degree_num(vertex) + this.out_degree_num(vertex);
  }
}

1. 개요

비선형 구조의 자료 구조의 첫 정리는 그래프 자료 구조로 시작한다. 선형 구조의 자료 구조보다 생김새는 복잡하여 무서운 느낌이 들지만 한 번 정리를 하여 특징과 쓰임 그리고 자바스크립트로 구현을 해보도록 하자.

2. 그래프란?

노드(N, node)와 그 노드를 연결하는 간선(E, edge)을 하나로 모아 놓은 자료 구조이다. 즉, 연결되어 있는 객체 간의 관계를 표현할 수 있는 자료 구조이다.

2-1. 그래프에서 사용되는 용어

정점(vertex): 위치(node라고도 부름)
간선(edge): 위치 간의 관계 즉, 노드를 연결하는 선(link, branch라고도 부름)
인접 정점(adjacent vertex): 간선에 의해 직접 연결된 정점
차수(degree): 정점에 부속되어 있는 간선의 수
- 진입 차수(in-degree): 방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수
- 진출 차수(out-degree): 방향 그래프에서 외부로 향하는 간선의 수
경로(path): 특정 정점에서 다른 정점까지 간선으로 연결된 정점으로 순서대로 나열한 리스트
- 경로 길이(path length): 경로를 구성하는 데 사용된 간선의 수
- 단순 경로(simple path): 경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우
사이클(cycle): 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우

2-2. 그래프의 특징

그래프는 네트워크 모델
2개 이상의 경로가 가능
루트 노드의 개념이 없음
부모-자식 관계의 개념이 없음
순회는 DFS나 BFS로 이루어짐
그래프는 크게 무방향 그래프와 방향 그래프로 나뉨

3. 그래프의 종류

방향의 유무에 따른 분류
- 무방향 그래프
- 방향 그래프
연결 상태에 따른 분류
- 연결 그래프
- 비연결 그래프
- 완전 그래프

3-1. 무방향 그래프(Undirected Graph)

두 정점을 연결하는 간선에 방향이 없는 그래프

방향 그래프에서 정점 Vi와 Vj를 연결하는 간선을 <Vi, Vj>로 표현한다. 이때 <Vi, Vj>와 <Vj, Vi>는 같은 간선이다.

예) 양방향 통행 도로

3-2. 방향 그래프(Directed Graph)

간선에 방향이 있는 그래프

방향 그래프에서 정점 Vi와 Vj를 연결하는 간선을 <Vi, Vj>로 표현한다. 이때 <Vi, Vj>와 <Vj, Vi>는 서로 다른 간선이다.

예) 일방 통행 도로

3-3. 연결 그래프(Connected Graph)

떨어져 있는 정점이 없는 그래프, 무방향 그래프에 있는 모든 정점쌍에 대해서 항상 경로가 존재

3-4. 비연결 그래프(Disconnected Graph)

연결되지 않은 정점이 있는 그래프, 무방향 그래프에서 특정 정점쌍 사이에 경로가 존재하지 않음

3-5. 완전 그래프(Complete Graph)

한 정점에서 다른 모든 정점과 연결되어 최대 간선 수를 가지는 그래프

정점이 n개인 완전 그래프에서의 최대 간선 수

무방향 그래프: n(n-1)/2
방향 그래프: n(n-1)

3-6. 가중치 그래프(Weight Graph)

정점을 연결하는 간서에 가중치를 할당한 그래프, 네트워크라도 함

예) 도시-도시의 연결, 도로의 길이, 통신망의 사용료

3-7. 사이클(Cycle)

단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우

3-8 비순환 그래프(Acyclic Graph)

사이클이 없는 그래프

4. 그래프의 구현방법

그래프는 인접 리스트(Adjacency List)와 인접 행렬(Adjacency Matrix) 두 가지의 방법으로 구현할 수 있다.

두 가지 방법의 특징은 아래와 같다.

인접 리스트
- 모든 정점을 인접 리스트에 저장한다. 배열 또는 연결 리스트를 이용해서 인접 리스트를 표현한다.
- 무방향 그래프에서 간선은 두 번 저장된다.
- 그래프 내 적은 숫자의 간선만을 가지는 희소 그래프(Sparse Graph)의 경우에 적합하다.
- 어떤 노드에 인접한 노드들을 쉽게 찾을 수 있다.
- 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 인접 리스트 전체를 조사하면 알 수 있다.
- 간선의 존재 여부와 정점의 차수를 알기 위해서는 정점 i의 리스트에 있는 노드의 수(정점 차수)만큼 시간이 필요하다.
인접 행렬
- N*N Boolean Matrix로써 matrix[i][j]가 true라면 i에서 j로 가는 간선이 있다는 뜻이다.
- 간선의 수와 무관하게 항상 n^2개의 메모리 공간이 필요하다.
- 그래프에 간선이 많이 존재하는 밀집 그래프(Dense Graph)의 경우에 적합하다.
- 두 정점을 연결하는 간선의 존재 여부(M[i][j])를 O(1) 안에 즉시 알 수 있다.
- 정점의 차수는 인접 배열의 i번 째 행 또는 열을 모두 더하면 알 수 있다.
- 어떤 노드에 인접한 노드들을 찾기 위해서는 모든 노드를 전부 순회해야 한다.
- 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 O(N^2)안에 알 수 있다.

5. 인접 리스트로 무방향 그래프 구현하기

5-1. 그래프의 기본 구조

class Graph {
  constructor() {
    this.vertices = new Map();
  }
}

그래프의 기본 구조는 정점을 나타내는 vertices로 구성된다. 그리고 vertices는 맵 객체이다.

맵 객체의 키는 기본적으로 중복이 불가능하다. 하지만 키가 객체인 경우에는 중복이 발생한다. 그렇기 때문에 해당 방법으로 그래프를 만들기 위해서는 정점은 객체가 아닌 값을 사용해야 한다. 즉, string, number, boolean과 같은 원시 타입의 자료형을 사용해야 한다. 이 부분이 조금은.. 아쉽다ㅠㅠ

5-2. 정점 추가하기

class Graph {
  // ...
  add(vertex) {
    if (!this.vertices.get(vertex)) {
      this.vertices.set(vertex, []);
    }
  }
}

넘겨받은 vertex은 맵 객체의 키가 되며 빈 배별을 값으로 할당한다. 만약 이미 존재하는 정점이라면 새롭게 생성을 하지 않는다.

5-3. 정점 삭제하기

class Graph {
  // ...
  remove(vertex) {
    if (!this.vertices.get(vertex)) {
      const v = this.vertices.get(vertex);
      v.forEach((item) => {
        this.vertices.set(
          v,
          this.vertices.get(v).filter((item) => item !== vertex)
        );
      });
      this.vertices.delete(vertex);
      return v;
    }
  }
}

인자로 넘겨받은 정점이 존재하면 해당 정점을 삭제함은 물론, 다른 모든 정점들의 리스트를 순회하며 넘겨받은 정점과 이어져 있는 간선을 제거해야 한다.

넘겨받은 정점과 연결되어 있는 정점은 넘겨받은 정점의 리스트(v)를 보면 쉽게 찾을 수 있다.

5-4. 정점의 존재여부 확인하기

class Graph {
  // ...
  contains(vertex) {
    return this.vertices.has(vertex);
  }
}

Map.has() 메서드를 사용하여 키가 존재하는지 확인하다.

5-5. 간선 연결하기

class Graph {
  // ...
  connect(from, to) {
    if (this.contains(from) && this.contains(to)) {
      if (this.vertices.get(from).includes(to)) return;
      this.vertices.set(from, [...this.vertices.get(from), to]);
      this.vertices.set(to, [...this.vertices.get(to), from]);
    }
  }
}

간선을 연결하기 위해서는 연결할 정점이 모두 존재해야 한다.

두 개의 정점의 존재가 모두 확인되면 각각의 인접 리스트에 서로의 정점을 추가한다. 만약 두 정점이 이미 연결이 되어 간선이 있다면 함수를 종료하여 중복된 간선을 만들지 않도록 한다.

5-6. 간선 삭제하기

class Graph {
  // ...
  disconnect(from, to) {
    if (this.contains(from) && this.contains(to)) {
      this.vertices.set(
        from,
        this.vertices.get(from).filter((item) => item !== to)
      );
      this.vertices.set(
        to,
        this.vertices.get(to).filter((item) => item !== from)
      );
    }
  }
}

두 정점을 연결하는 간선을 삭제하기 위해서는 두 정점이 모두 존재해야 한다.

두 정점이 모두 존재하면 from 정점과 to 정점의 리스트에서 서로의 정점을 제거한다. 이를 위해 Array.filter() 메서드를 사용하였다.

5-7. 간선 존재여부 확인하기

class Graph {
  // ...
  hasEdge(from, to) {
    if (this.contains(from) && this.contains(to)) {
      const edges = this.vertices.get(from);
      return edges.includes(to);
    }
    return false;
  }
}

두 정점이 모두 존재하지 않으면 false를 리턴한다.

두 정점이 모두 존재하면 from 정점의 리스트에 to 정점이 포함되어있는지 Array.includes() 메서드를 사용하여 확인하여 메서드의 반환 값을 리턴한다.

6. 인접 행렬로 방향 그래프 구현하기

6-1. 그래프의 기본 구조

class Graph {
  constructor(size) {
    this.matrix = [];
    for (let i = 0; i < size; i++) {
      this.matrix.push(new Array(size).fill(0));
    }
    this.length = this.matrix.length;
    this.last_vertex = this.matrix.length - 1;
  }
}

인자로 받은 size 만큼의 이중 배열이 생성된다.

생성되는 정점의 수는 matrix.length이다. 하지만 여기서 주의 해야할 점은 배열의 인덱스는 0부터 세기 때문에 간선을 연결할 때 matrix.length의 값은 인자로 전달해서는 안된다. 즉 받을 수 있는 인자 값의 최댓값은 matrix.length - 1이다.

6-2. 정점의 존재여부 확인하기

class Graph {
  // ...
  contains(vertex) {
    return vertex < this.length && vertex >= 0;
  }
}

인자로 받은 정점이 0 이상 matrix의 길이보다 보다 작으면 정점이 존재한다.

6-3. 간선 연결하기

class Graph {
  // ...
  connect(from, to) {
    if (
      !from === 0
        ? false
        : !from || to === 0
        ? false
        : !to || !this.contains(from) || !this.contains(to) || from === to
    )
      return;
    this.matrix[from][to] = 1;
  }
}

간선을 연결하기 위해서는 연결할 두 정점이 필요하고 두 정점 모두 존재해야 한다. 또한 연결할 두 정점이 서로 같지 않아야 한다. 단 정점이 0인 경우 !0은 true를 반환하기 때문에 이를 위해 삼항연산자를 작성해줘야 한다.

정점이 연결 된 경우 해당 위치의 요소를 1로 바꾼다.

물론 자기 자신을 간선으로 연결할 수 있지만 여기서는 제외하여 생각한다.

6-4. 간선 삭제하기

class Graph {
  // ...
  disconnect(from, to) {
    if (
      !from === 0
        ? false
        : !from || to === 0
        ? false
        : !to || !this.contains(from) || !this.contains(to) || from === to
    )
      return;
    this.matrix[from][to] = 0;
  }
}

정점이 연결이 끊긴 경우 해당 위치의 요소를 0로 바꾼다.

6-5. 간선 존재여부 확인하기

class Graph {
  // ...
  hasEdge(from, to) {
    return this.matrix[from][to] === 1;
  }
}

6-6. 차수 구하기

class Graph {
  // ...

  // 진입 차수 구하기
  in_degree_num(vertex) {
    let count = 0;
    this.matrix.forEach((item) => {
      if (item[vertex] === 1) count++;
    });
    return count;
  }

  // 진출 차수 구하기
  out_degree_num(vertex) {
    return this.matrix[vertex].filter((item) => item === 1).length;
  }

  // 차수 구하기
  degree_num(vertex) {
    return this.in_degree_num(vertex) + this.out_degree_num(vertex);
  }
}

진입 차수는 외부에서 정점으로 향하는 간선의 수 이고 진출 차수는 정점에서 외부로 향하는 간선의 수이다.

진입 차수는 이중 배열에서 세로의 요소, 진출 차수는 이중 배열에서 가로의 요소를 확인하여 구하면 된다.

7. Conclusion

그래프 자료 구조에 대해 정리를 하였다. 개념을 공부할 땐 어떤 자료 구조인지 정확히 이해가 되지 않았다. 하지만 직접 코드를 작성하면서 그래프를 만들어 보니 확실히 어떤 상황에서 유용하게 사용할 수 있는지 짐작이 되었다. 지금까지 자료구는 원시타입, 배열, 객체만 이용했었는데 이렇게 직접 자료 구조를 만드니 정말 재밌다는 생각이 든다. 또한 왜 자바스크립트에서는 다양한 자료 구조를 지원하지 않는지 궁금하다.

참고

[자료구조] 그래프(Graph)란 [자료구조] 그래프(Graph)의 개념 설명 [JavaScript] 자료구조 (3-2): 그래프(Graph)와 인접 리스트 Javascript Graph 자료구조 인접행렬(Adjacency Matrix) 구현

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